Raumvorstellung III

Raumvorstellung ist eine Sammelbezeichnung für mehrere Fähigkei-ten, sich etwas visuell vorzustellen. Dieses Etwas kann die Zerle- gung eines Körpers in vorgegebene Teilkörper, die Zerlegung einer Fläche in vorgegebene Teilflächen oder die Zerlegung eines Linien- netzes in vorgegebene Linienstücke sein.

Die Fähigkeit, sich die Zerlegung eines Raums in gegebene Teile vorzustellen, braucht man zur Lösung von Verpackungsaufgaben im weitesten Sinne, zum Beispiel beim Bestücken des Geschirrspülers, beim Verstauen von Koffern und Taschen im Kofferraum des Autos oder beim Verteilen von Schreibutensilien auf dem Schreibtisch.

Die DVD Lernmittel Mathematik enthält zahlreiche Unterrichtsmittel zur Zerlegung von Körpern, Flächen und Liniennetzen. In den folgen- den Abschnitten wird eine Auswahl von Aufgaben aus diesen Unter- richtsmitteln vorgestellt:

(1) Liniennetze

Bild 1: Das Liniennetz kann die Kontur eines Gegenstandes oder ein Linienmuster sein. Die Schüler legen das Netz mit vorgegebe- nen Linienstücken auf quadratischen Kärtchen nach. Die Zwischen- räume ohne Linienelemente werden mit Blanko-Kärtchen ausgefüllt. Im Bild links sieht man die Vorlage eines Linienmusters und im Bild rechts das mit Linienkärtchen gelegte Muster.

Bild 2: Auf dem Geometrie-Steckbrett ist das Liniennetz ein offener oder geschlossener Streckenzug. Das Linienstück ist die Strecke, auf dem Brett ein Gummiring zwischen zwei Zapfen. Das Bild zeigt links die Vorlage eines geschlossenen Streckenzugs, rechts dessen Realisierung auf dem Geometrie-Steckbrett.

(2) Flächen

Beim Zerlegen einer Fläche in Teilflächen unterscheiden wir zwi- schen polygonalen, d. h. geradlinig berandeten, Teilflächen wie Qua- drat, Dreieck oder Raute und Teilflächen mit Rundungen, wie sie etwa beim Zerschneiden eines Kreises entstehen. Tangramfiguren mit einer Bedeutung: Gegenstände, Buchstaben, Ziffern, Menschen und Tiere sind Anwendungsfälle für die Zerlegung in polygonale Teilflächen. Die Vögel von Kempinsky, das gebrochene Herz und der zerbrochene Kreis sind Anwendungsfälle für die Zerlegung in Polygone und Teilflächen mit Rundformen.

Bild 3: Die Teilflächen des Unterrichtsmittels "Zerlegte Sechsecke" sind sechs gleichseitige Dreiecke und drei Rauten. Man erhält sie, wenn man ein regelmäßiges Sechseck ein Mal in Dreiecke und ein zweites Mal in Rauten zerlegt. Die auszulegenden Flächen sind stili- sierte Gegenstände, Tiere und Zeichen. Im Bild links sieht man die Vorlage, eine stilisierte Rakete, im Bild rechts die mit Dreiecken und Rauten gelegte Rakete. Es gibt verschiedene Zerlegungen.

Bild 4: Die sieben Teilflächen von Tangram sind allgemein bekannt. Sie ergeben sich aus der Zerlegung des Quadrats. Es wurden zahl- reiche Flächen zum Auslegen mit Tangramteilen ersonnen. Auf der CD Lernmittel Mathematik findet man elementare geometrische Flächen wie Rechteck und Parallelogramm, ferner stilisierte Buch- staben, Ziffern, Menschen, Tiere und Gegenstände. Im Bild links sieht man die Vorlage, einen stilisierten Handstand, im Bild rechts den mit Tangramteilen gelegten Handstand.

Bild 5: Walter Kempinsky zerlegte ein eiförmiges Gebilde, das sog. magische Ei, in neun Teilflächen. Nur drei Teilflächen sind Poly- gone, die übrigen sind Kreissektoren oder Teile von Kreissektoren. Kempinsky gelang es, mit den neun Teilen insgesamt 64 ver- schiedene Vögel darzustellen. Auf der CD Lernmittel Mathematik findet man eine Auswahl von 20 Vögeln. Im Bild links sieht man die Vorlage, einen der Vögel, im Bild rechts den mit den Teilflächen des magischen Eis gelegten Vogel.

"Gebrochenes Herz" und "Zerbrochener Kreis" sind weitere Unter- richtsmittel mit nicht-polygonalen Teilflächen. Die Teilflächen werden durch Zerlegung eines stilisierten Herzes bzw. durch Zerlegung ei- nes Kreises gewonnen. Wir verzichten an dieser Stelle auf Abbil- dungen von Aufgaben und Lösungen.

(3) Körper

Bild 6: Die sieben Soma-Bausteine erhält man, wenn man einen aus 27 Würfeln zusammengesetzten größeren Würfel in sechs Wür- felvierlinge und einen Würfeldrilling zerlegt. Mit ihnen errichten die Schüler vorgegebene Bauwerke. Diese können aus zwei bis sieben Bausteinen bestehen. Besonders geeignet sind die von Boris und Lena Nikitin verwendeten farbigen Bausteiene. Sie ermöglichen un- terschiedliche Aufgabenstellungen. Das Bild links zeigt ein stilisier- tes Sofa, das Bild rechts seinen Aufbau aus Soma-Bausteinen. Um das Bearbeiten der Aufgabe zu erleichtern, sind Art und Lage der Bausteine im Bauwerk angegeben - im Bild nicht dargestellt.

Bild 7: Drei ebenen Soma-Bausteine sind stilisierte Buchstaben: L, T und Z. Wir bezeichnen sie deshalb als LTZ-Bausteine. Man kann jeden Baustein durch Verleimen von Holzwürfeln herstellen. Mit den LTZ-Bausteinen lassen sich u. a. rechteckige Muster für Parkette entwickeln. Es kommen mehrere Aufgabenstellungen in Betracht. Das Bild oben links zeigt die Abmessungen des Musters, das Bild rechts unten eines von mehreren möglichen Parkettmustern

Bild 8: Drei ebenen Soma-Bausteine sind stilisierte Buchstaben: L, T und Z. Wir bezeichnen sie deshalb als LTZ-Bausteine. Man kann jeden Baustein durch Verleimen von Holzwürfeln herstellen. Mit den LTZ-Bausteinen lassen sich Mauerverbände für Wände, Ecken und Schornsteine entwickeln. Das Bild rechts oben zeigt die Abmes- sungen einer Ecke, das Bild links unten einen Eckverband aus LTZ-Bausteinen mit einer für Verbände üblichen Verzahnung.

Bild 9: Vorgegeben ist ein Würfelkörper. Das Bild zeigt beispielhaft eine stilisierte Treppe. Aufgabe: Aus wie vielen Würfeln besteht der Körper? (Auf der Rückseite sind keine Würfel versteckt.) Um die Aufgabe zu lösen, zerlegt man den Körper vertikal oder horizontal in Schichten. Man bestimmt die Anzahl der Würfel je Schicht und ad- diert die Anzahlen. Die horizontale Zerlegung führt auf die Rechnung 12 + 6 + 2, die vertikalen Zerlegungen auf die Rechnungen 6 + 6 + 5 + 3 bzw. 9 + 7 + 4.