Raumvorstellung IV

Raumvorstellung ist eine Sammelbezeichnung für mehrere Fähigkei-ten, sich etwas visuell vorzustellen. Dieses Etwas kann die Bewe- gung eines Körpers, einer Fläche oder eines Liniennetzes sein.

Die Fähigkeit, sich die Bewegung eines geometrischen Objekts visuell vorzustellen, wird in Alltag und Beruf häufig benötigt, zum Bei- spiel beim Verschieben eines Möbelstücks, wenn es beengt ist.

Bewegungen im engeren Sinne sind Verschiebungen und Drehun- gen. Jede noch so komplexe Bewegung eines starren Objekts ist eine Abfolge von Verschiebungen und Drehungen. Weil die Mathe- matik Verschieben, Drehen und Spiegeln im gleichen Modell (ortho- gonale lineare Transformation) beschreibt, zählt man die Spiegelung zu den Bewegungen, obgleich sie keine reale Bewegung ist.

Alle Lehrpläne verlangen die Spiegelung von Linie und Fläche an der Geraden (Spiegelachse). Die Erweiterung um die Spiegelung von Körpern an der Fläche (Spiegelebene) wird noch nicht bedacht.

Einige Lehrpläne sehen darüber hinaus die Drehung von Linie und Fläche vor. Weil sie neben Verschiebung und Spiegelung die dritte Methode ist, um aus einem Grundmuster ein Parkett herzustellen, bietet es sich an, die Drehung beim Parkettieren zu behandeln.

Obwohl es geeignete Aufgaben gibt, wird die Erweiterung um die Drehung von Körpern, z. B. Kippen von Würfel und Quader über die Kante, in den Lehrplänen gegenwärtig noch nicht bedacht.

Bewegungen im weiteren Sinne sind solche, bei denen zugleich das Objekt verformt wird, zum Beispiel beim Falten von Papier, beim Verknoten von Schnur und Seil und beim Flechten von Band.

Die DVD Lernmittel Mathematik enthält zahlreiche Unterrichtsmittel zum Bewegen von Körpern, Flächen und Liniennetzen. Wir stellen eine Auswahl von Aufgaben aus Unterrichtsmitteln auf der DVD vor.

Soweit machbar erhalten Schüler mit wenig entwickelter Vorstel- lungskraft Hifsmittel, z. B. einen Spiegel, um die Aufgaben zunächst handelnd zu lösen. Nach ausreichend vielen Handlungserfahrungen verzichten sie von sich aus auf auf die Benutzung von Hilfsmitteln.

(1) Liniennetz spiegeln, drehen und verschieben

Bild 1: Das Bild links zeigt die Aufgabe auf einer Karte: Original und Spiegelachse. Das Spiegelbild, im Bild rechts, muss mit neun Linienkärtchen gelegt werden. Falls erforderlich können die Schüler den beiliegenden Standspiegel zu Hilfe nehmen. (Das gelegte Spie- gelbild ist größer als das auf der Karte abgebildete Original.)

Bild 2: Das Bild links zeigt die Aufgabe auf einer Karte: Das schräg liegende Quadrat ist an der Senkrechten zu spiegeln. Das Spie- gelbild, im Bild rechts, muss auf dem Geometrie-Steckbrett mit Zap- fen und Ringgummis hergestellt werden. Falls erforderlich, kann der Schüler vorher das Steckbrett auf der Karte im Handspiegel spie- geln. (Das Spiegelbild auf dem Steckbrett ist viel größer als das auf der Karte abgebildete Original.)

Bild 3: Das Bild links zeigt die Aufgabe auf einer Karte: Das Linien- muster ist um ein viertel nach rechts zu drehen. Das gedrehte Muster, im Bild rechts, muss mit neun Linienkärtchen gelegt werden. (Das gedrehte Muster ist größer als das originäre Muster.) Falls erforderlich, können die Schüler vorher die Karte probeweise um ein viertel nach rechts drehen.

Bild 4: Gegeben sind 24 Kärtchen mit zwei Viertelecken (im Bild rechts). Ein solches Kärtchen bildet das Muster (im Bild links rot um- randet). Wenn man es schrittweise nach rechts bzw. nach unten verschiebt und dabei stets um ein viertel nach links dreht, erhält man nach 23 Verschiebungen ein Parkett (im Bild links).

In vielen Fällen erhält man andere Parkette, wenn man das Muster (a) nur verschiebt, (b) es um ein viertel nach rechts dreht, (c) um ein halb dreht oder (d) an der rechten/unteren Seite spiegelt. Darüber hinaus gewinnt man weitere Parkette, wenn man aus vier Kärtchen ein quadratisches Muster bildet und dieses wiederum - wie oben beschrieben - verschiebt, dreht und spiegelt. - Falls erforderlich kann beim Spiegeln einen Standspiegel benutzt werden.

(2) Flächen spiegeln und drehen

Bild 5: Spiegeln der Tangram-Figur "Hürdenläufer". Das Bild links zeigt die Aufgabe auf einer Karte: Original und Spiegelachse. Das Spiegelbild, im Bild rechts, muss mit Tangram-Teilen gelegt werden. Falls erforderlich, kann der Schüler den beiliegenden Handspiegel zu Hilfe nehmen. (Das gelegte Spiegelbild ist größer als das auf der Karte abgebildete Original.)

Bild 6: Spiegeln eines Vogels von Kempinsky. Das Bild links zeigt die Aufgabe auf einer Karte; Original und Spiegelachse. Das Spie- gelbild, im Bild rechts, muss mit den neun Teilen der Vögel von Kempinsky gelegt werden. Falls erforderlich, kann der Schüler den beiliegenden Handspiegel zu Hilfe nehmen. (Das gelegte Spiegel- bild ist größer als das auf der Karte abgebildete Original.)

Bild 7: Uhrzeiger ohne Zifferblatt spiegeln. - Das Bild links zeigt die Aufgabe auf einer Karte: Uhrzeit und Spiegelachse. Die gespiegel- ten Uhrzeiger, im Bild rechts, müssen auf der beiliegenden Plastik-Lernuhr eingestellt werden. Falls erforderlich, kann der Schüler den beiliegenden Handspiegel zu Hilfe nehmen. (Uhrzeiger und Ziffer- blatt sind auf der Lernuhr größer als auf der Karte.)

Bild 8: Uhrzeiger mit Zifferblatt spiegeln. - Das Bild rechts zeigt auf einer Karte: die an der Senkrechten gespiegelte Uhrzeit. Die Aufga- be besteht darin sich vorzustellen, wie spät es tatsächlich ist. Das Bild links zeigt die Lösung. Falls erforderlich, kann der Schüler den beiliegenden Handspiegel zu Hilfe nehmen.

Bild 9: Das Bild links zeigt eine Zielfigur auf einem quadratischen Kärtchen. Sie ist - auf den ersten Blick nicht erkennbar - aus vier quadratischen Mustern zusammengesetzt. Diese und andere Muster stehen auf insgesamt 16 Spielsteinen zur Verfügung. Die Aufgabe besteht darin, die Vorlage mit zwei Spielsteinen und deren Spiegel- bild im Standspiegel herzustellen. Das Bild rechts zeigt die Lösung (ohne Darstellung des Spiegelbilds).

Bild 10: Spiegelexperimente an der Wunderblüte. - Das Bild links zeigt die Wunderblüte mit ihren drei roten und weißen Blättern auf ei- ner Karte. Das Bild mittig zeigt die gleiche Blüte mit einem Stand- spiegel. Wenn man seitlich in den Standspiegel blickt, sieht man die im Bild rechts dargestellte Blüte. Durch geschicktes Positionieren des Standspiegels kann man nämlich das Verhältnis von rot zu weiß verändern. - Die Aufgabenstellung erfolgt in der umgekehrten Rich- tung: Zu vorgegebenem Spiegelbild muss die passende Stellung des Standspiegels auf der Wunderblüte ermittelt werden.

Bild 11: Bild links zeigt die Aufgabe auf einer Karte: Das Vierfar- ben-Muster ist um ein viertel nach links zu drehen. Das gedrehte Muster, im Bild rechts, wird mit vierfarbigen quadratischen Kärtchen gelegt. Es sind 18 Kärtchen vorhanden. Falls erforderlich können die Schüler vorher die Karte probeweise um ein viertel drehen.

Bild 12: Bild links zeigt die Aufgabe auf einer Karte: Das quadra- tische LTZ-Muster ist um ein viertel nach links zu drehen. Das ge- drehte Muster, im Bild rechts, wird mit vier LTZ-Plättchen gelegt. Es sind 18 LTZ-Plättchen aus Plastik vorhanden. Falls nötig können die Schüler vorher jede einzelne Karte um ein viertel nach links drehen.

(3) Körper spiegeln und kippen

Bild 13: Bild links zeigt die Aufgabe auf einer Karte: die Konturen eines Würfelkörpers und eine Spiegelebene. Der Körper und sein Spiegelbild sind mit den beiliegenden Würfeln herzustellen. Das Bild rechts zeigt die Lösung.

Bild 14: Der Würfel im Bild links ist aus acht zweifarbigen Würfeln mit je drei roten und blauen Seitenflächen zusammengesetzt. Er muss erst hergestellt und danach auf Spiegelebenen untersucht wer- den. Das Bild rechts zeigt eine der beiden Spiegelebenen.

Bild 15: Ein Quader trägt auf der Grund- bzw. Deckfläche das Bild eines Igels bzw. eines Hasen. Kippt man den Quader über die Kan- ten nach links/rechts/vorn/hinten, so hinterlässt er eine Spur. Aufga- be: Im Bild links oben liegt der Igel oben. Wer liegt oben, wenn man den Quader achtmal kippt wie im Bild dargestellt, der Igel oder der Hase? - Falls erforderlich, können die Schüler die Kippfolge mit dem beiliegenden Quader ausführen.

Bild 16: Von einem sechsfarbigen Würfel sieht man im Schrägbild nur drei Farben. Kippt man den Würfel nach rechts, links, vorn oder hinten, werden andere Farben sichtbar. Durch wiederholtes Kippen kann man insgesmt 24 verschiedene Ansichten erzeugen. Das Bild zeigt eine geschlossene Kippfolge. Man erzeugt sie, indem man beispielsweise die Ansicht des Würfels links oben (vorn: grün, oben: rot, seitlich: grau) und den Weg vorgibt. Die Aufgabe besteht darin, alle Ansichten mit Kärtchen zu legen. Falls die Vorstellugskraft nicht ausreicht, kann der Schüler den beiliegenden sechsfarbigen Würfel benutzen, um durch Kippen die benachbarte Ansicht zu ermitteln.