Bruchzahlen und Bruchrechnen

1. Bruchzahlen

Die Bruchzahlen verdankten ihre Existenz dem Bedürfnis, die Zahl 1 nachträglich zu unterteilen, etwa weil sich beim Verteilen eine Zahl nicht ohne Rest zerlegen ließ oder weil in späterer Zeit kleinere Maß- oder Münzeinheiten eingeführt wurden, z. B. in römischer Zeit 1 Scrupel = 1/24 Unze oder im Mittelalter 1 Heller = 1/2 Pfennig.

Fast alle Hochkulturen der Antike entwickelten Bruchzahlen: Inder, Ägypter, Römer u. a. Unser Schreibschema der Brüche ist das der Inder: Zähler oben und Nenner unten. Die Inder verzichteten auf die Trennung beider durch den Bruchstrich. - Bild 1 zeigt mehrere Bei- spiele in einer altindischen Version der Schrift Devanagari.

Die Ägypter entwickelten mit Ausnahme von 2/3 nur Stammbrüche, d. h. Brüche mit dem Zähler 1 - siehe Bild 2. Sie setzten über den Nenner ein Oval - Beispiele: 1/5, 1/12. Für häufig benutzte Brüche: 1/2, 1/3, 2/3 und 1/4 gab es Sonderzeichen.

Die Römer entwickelten kein allgemeines Schreibschema für Bruch- zahlen. Mit Bezug zur Münzeinheit 1 As schufen sie nur Grundzei- chen für die Stammbrüche 1/2, 1/12 (eine Unze), 1/24, 1/48, 1/72, 1/144 und 1/288 (ein Scrupel). Die abgeleiteten Brüche wurden aus Grundzeichen zusammengesetzt - Beispiele siehe Bild 3.

Die Zahlschriften der genannten Hochkulturen sind Dezimalsyste- me, d. h. die Zähleinheiten ganzer Zahlen sind 1, 10, 100, 1000 usw. Die nächst kleinere systemkonforme Zähleinheit unterhalb von 1 ist 1/10. Trotz Erweiterung um die Zähleinheit 1/10 kann man lediglich Bruchobjekte der Größe 1/10, 1/5, 3/10, 2/5, 1/2, 3/5, 7/10, 4/5 und 9/10 quantifizieren. Um Bruchobjekte wie 1/4 oder 1/8 zu erfassen, muss man die Zähleinheiten 1/100, 1/1000 einführen. Bruchobjekte der Größe 1/3, 1/6 lassen sich im System nicht exakt quantifizieren.

Die Schwierigkeit, häufig auftretende Bruchobjekte der Größe 1/4, 1/8, 1/3, 1/6 in das Dezimalsystem zu integrieren, war der Grund für die Genese der Bruchzahlen. Der überzeugendste Beleg für diese Hypothese ist die Tatsache, dass das Zahlsystem der Sumerer, die Keilschrift, ein Sexagesimalsystem ist, das keine Brüche kennt. Im Sexagesimalsystem sind die Zähleinheiten für ganze Zahlen 1, 60, 3600, 216000 usw. In einer Zahl kann eine Zähleinheit 0-mal, 1-mal, 2-mal, . . . , 59-mal vorkommen. Die dafür nötigen Zeichen werden durch Kombination von Zehner- und Einer-Keilen - siehe Bild 4 - dargestellt. Die Kombination von Bild 5 bedeutet 45, wenn es sich um die Zähleinheit 1 handelt, sie bedeutet 2700, wenn es sich um die Zähleinheit 60 handelt usw.

Die nächst kleinere systemkonforme Zähleinheit unterhalb von 1 ist die Minute. 1 Minute ist der 60-ste Teil der Zähleinheit 1. Die Kombi- nation von Bild 5 bedeutet 45 Minuten, wenn es sich um die Zählein- heit 1 Minute handelt. Obwohl 45 Minuten das Gleiche wie 3/4 ist, benötigt man im Sexagesimalsystem die Bruchzahl 3/4 nicht. Ent- sprechend werden viele elementare Brüche durch Minuten ausge- drückt, 1/2, 1/3, 1/4, 2/3, 1/6, 5/6, 1/12. - Die nächst kleinere Zähl-einheit unterhalb von 1 Minute ist die Sekunde. 1 Sekunde ist der 60- ste Teil der Zähleinheit 1 Minute.

Der systembedingte Zusammenhang von Dezimalzahlen und Brü- chen lässt uns verstehen, weshalb die Bruchzahlen noch heute in Gebrauch sind. Sie sind als Zahlwörter und Zahlzeichen Bestandteil der Sprache. Daher solten sie in unserer Zeit im Unterricht nicht nur beiläufig, sondern systematisch behandelt werden - Bild 6 zeigt ausgewählte Beispiele.

Für die unterrichtliche Behandlung der Brüche bietet sich folgende Vorgehensweise an: Einem leicht unterteilbaren Objekt wird die Zahl 1 zugewiesen, z. B. einem an der Tafel mit Kreide oder Abdeck- band markierten Quadrat - Bild 7 links. In dem Quadrat werden zunächst die Teilflächen von Stammbrüchen: 1/2, 1/4, 1/3, 1/6 usw., anschließend die Teilflächen von abgeleiteten Brüchen: 2/4, 3/4, 2/3, 2/6 usw. mit Papp-Rechtecken dargestellt - 2/3 im Bild 7 rechts.

Im Fall "Quadrat" akzeptieren die Schüler, dass man dem Quadrat die Zahl 1 zuweist, denn es handelt sich um genau ein Objekt. In vie- len Fällen ist jedoch das Objekt bereits mit einer Zahl belegt - Beispiel: "In einem Raum mit 100 Sitzplätzen sind 75 besetzt. Wie groß ist der Bruchteil besetzter Plätze?" Die Hemmschwelle, den 100 Sitzplätzen auf einer zweiten Zählebene die Zahl 1 zuzweisen, kann herabgesetzt werden, indem man vorab Aufgaben behandelt, die beide Zählebenen erkennen lassen. Beispiel: Bild 8 zeigt die spanische Flagge. Sie stellt einerseits die 1 dar, weil sie 1 Flagge ist, anderseits die 32, weil sie durch ein Gitter unterteilt ist.

2. Bruchrechnen

Ägypter und Inder entwickelten allgemeine Schreibweisen für Bruch- zahlen, die Ägyper für Stammbrüche, die Inder für beliebige Brüche. Darüber hinaus entstanden in beiden Kulturen Verfahren zum Rech- nen mit Brüchen. Das ägyptische Rechnen mit Stammbrüchen hielt sich bis ins Hochmittelalter, wurde aber mit dem Aufkommen der indischen Zahlschrift durch das indische, uns geläufige Rechnen mit beliebigen Brüchen ersetzt.

Das Bruchrechnen erlebte seine Blütezeit im ausgehenden Mittel- alter. Infolge regionaler Unterschiede zwischen Längen-, Gewichts-, Hohl- sowie Geldmaßen mussten die Beziehungen zwischen ihnen durch Brüche erfasst werden. Beispiel: Berliner Pfund = 61/67 Nürn- berger Pfund. - Ferner waren die Beziehungen zwischen Einheiten desselben Maßes nicht konstant. - Beispiele: 1 Heller = 1/2 Pfennig, 1 Pfennig = 1/12 Groschen, 1 Groschen = 1/21 Rheinischer Gulden.

Simon Stevin schlug 1586 in der Schrift "De Thiende" vor, die ge- wöhnliche Brüche durch Dezimalbrüche zu ersetzen: 1/2 = 5/10 = 0,5 1/4 = 25/100 = 0,25 1/8 = 125/1000 = 0,125 1/3 = 3/10 + 3/100 = 0,33. Ferner empfahl er, die unterschiedlichen Einheiten desselben Maßes oder Geldwertes dezimal zu gliedern. Beispiel: 1 Pfennig = 1/10 Groschen, 1 Groschen = 1/10 Mark. - Stevins Vorschläge wur- den vor allem im 19. Jahrhundert weltweit verwirklicht.

Es stellt sich die Frage, weshalb die Schule noch heute Bruchrech- nen vermittelt. Wäre es nicht ökonomischer, sich auf das Rechnen mit Dezimalbrüchen zu beschränken? - Für die Behandlung des Bruchrechnens sprechen zwei Gründe: 1. Da sich mehrere elemen- tare Brüche im Dezimalsystem nicht auf einfache Weise ausdrü- cken lassen - Beispiel 1/8 = 125/1000 = 0,125 - kann man auf die gewöhnlichen Brüche nicht verzichten. 2. Weil sich die Einheiten 1, 1/10, 1/100 in der Größe um den Faktor 10 unterscheiden, kommt für Rechenhandlungen mit Dezimalbrüchen nur das Zahlenstrahl-Modell - Bild 9: 0,14 + 0,09 = 0,23 - in Betracht. Für Rechenhand- lungen mit gewöhnlichen Brüchen stehen neben dem Zahlenstrahl-Modell - Bild 10: 1/3 + 1/4 = 14/24 = 7/12 - das Kreis-Modell - Bild 11: 1/2 + 3/8 = 7/8 - und das Quadrat-Modell - Bild 12: 1/2 + 1/4 = 3/4 - zur Verfügung.