Bei kombinatorischen Aufgaben des Typs Auswählen ist eine Men- ge von Objekten vorgegeben, z. B. die Münzen: 20 10 10 5 2 2 2 1 Cent. Aus dieser Menge sind sämtliche Teilmengen auszuwählen, die eine bestimmte Bedingung erfüllen, z. B. die Münzen, mit denen man genau 26 Cent zahlen kann.

Die Schwierigkeit solcher Aufgaben besteht darin, alle Objekte bzw. Teilmengen zu finden, die die Bedingung erfüllen. Dies ist nur dann möglich, wenn man systematisch vorgeht. Das eigentliche Lehrziel ist die Anbahnung der Fähigkeit zum systematischen Vorgehen.

Fast alle Unterrichtsmittel der DVD Lernmittel Mathematik zum The- ma liegen in einer Version für die Tafelarbeit und einer für die Klein- gruppenarbeit vor. Für die Einführung empfehlen wir unbedingt die Tafelarbeit. Dadurch können wir sicherstellen, dass alle Schüler das auf den ersten Blick nicht sichtbare Problem der Vollständigkeit der Lösung erkennen.

Für die Tafelarbeit liegt folgende Vorgehensweise nahe: Erst sam- meln wir die Vorschläge der Schüler und protokollieren sie bildlich bzw. schriftlich an der Tafel. Sobald keine weiteren Lösungen vorge- schlagen werden, wird den Schülern die Schwierigkeit der Aufgabe bewusst: der Nachweis der Vorständigkeit. Von da ab geht es da- rum, die vorhandenen Vorschläge neu zu ordnen, bis man sicher ist, dass nichts vergessen wurde.

Wir betrachten zuerst eine Aufgabe aus dem Bereich der Cent-Mün- zen. Im Geldbeutel sind acht Münzen: 20 10 10 5 2 2 2 1 Cent. Welche Möglichkeiten gibt es, mit den Münzen 26 Cent zu zahlen? - Zum Bearbeiten der Aufgabe sollten ausreichend viele Münzen vor- handen sein, so dass man alle Lösungen bildlich darstellen kann und nichts anschreiben muss. Das Umordnen fällt Grundschülern nämlich viel leichter als das erneute Anschreiben der Lösungen. Bild 1 zeigt eine systematische Ordnung der Lösungen. Möglicherweise entwi- ckeln Schüler eine andere Ordnung.

Es folgt eine Aufgabe aus dem Bereich Briefmarken. Die zugrunde liegende Menge sind häufig verwendete Marken der Blumenserie: 5 10 20 25 35 45 50 55 90 Cent. Die Postkarte wird mit 45 Cent frankiert. Mit welchen zwei Marken könnte man die Postkarte fran- kieren, falls man keine 45 Cent Marke zur Hand hat? Bild 2 zeigt die Lösung. - Aufgaben, bei denen man von Marken mehrere Exem- plare benötigt, kann man an der Tafel wegen des Materialaufwands nicht mehr ausschließlich bildlich lösen.

Es folgt ein Beispiel aus dem Unterrichtsmittel "Zwei Kugeln Eis". Eine Eisdiele führt fünf Sorten Eis: Erdbeere, Heidelbeere, Mandari- ne, Schokolade, Zitrone. Aufgabe: Wie viele Möglichkeiten gibt es, Tüten mit zwei Kugeln zu verkaufen, wenn in jeder Tüte zwei ver- schiedene Sorten Eis sind? Zum Darstellen von fünf Eissorten ste- hen ausreichend viele farbige Halbkreise zur Verfügung. Bild 3 zeigt eine systematische Darstellung der Lösung an der Stahltafel. Letz- tere wird in gemeinsamer Arbeit aus den spontan geäußerten Vor- schlägen der Schüler nach folgelndem Prinzip entwickelt: In der ers- ten Reihe sind alle Paare mit Erdbeere. In der zweiten Reihe sind alle Paare mit Zitrone, wobei das Paar Zitrone-Erdbeere nicht aufgeführt werden darf, weil es bereits in der ersten Reihe ist. Es fol- gen die Paare mit Scholkolde und danach die mit Mandarine.

Auf dem Geometrie-Steckbrett von Vogt stellt man eine Strecke dar, indem man deren Endpunkte durch Zapfen markiert und diese durch einen Gummiring verbindet. Die übrigen Löcher des Bretts bleiben frei. Die Strecke in Bild 4 links soll zu einem rechtwinkligen Dreieck erweitert werden. Es git drei verschiedene, d. h. nicht-kongruente, Lösungen. Die Objektmenge sind alle Dreiecke, in denen die ge- nannte Strecke eine Seite ist, die gesuchten Objekte sind die recht- winkligen Dreiecke. - Aus Platzmangel ist im Bild nur eine Lösung dargestellt. Zum Protokollieren der Lösungen erhalten die Schüler eine Kopiervorlage mit Blanko-Geobrettern.

Man kann zahlreiche kombinatorische Aufgaben bilden, in denen die Objektmengen Zahlen sind, z. B. die Zahlen bis 30. Als Teilmengen kommen im Beispiel etwa die durch 3/5/6 teilbaren Zahlen oder die Primzahlen in Betracht.

(C) Wolfgang Reitberger, Berlin