Kombinatorik II

Bei kombinatorischen Aufgaben des Typs Anordnen ist eine Menge von Objekten nicht direkt angegeben, sondern verbal umschrieben, z. B. alle dreistelligen Zahlen mit den Ziffern 2, 4 und 8. Die dreistel- ligen Zahlen müssen hergestellt werden.

Die Schwierigkeit solcher Aufgaben besteht darin, alle Objekte zu finden, die den Angaben entsprechen. Dies ist allerdings nur dann möglich, wenn man systematisch vorgeht. Das Lehrziel ist also die Anbahnung der Fähigkeit zum systematischen Vorgehen.

Für die Tafelarbeit liegt folgende Vorgehensweise nahe: Erst sam- meln wir die Vorschläge der Schüler und protokollieren sie bildlich bzw. schriftlich an der Tafel. Sobald keine weiteren Lösungen vorge- schlagen werden, wird den Schülern die Schwierigkeit der Aufgabe bewusst: der Nachweis der Vorständigkeit. Von da ab geht es da- rum, die vorhandenen Vorschläge neu zu ordnen, bis man sicher ist, dass nichts vergessen wurde.

Wir betrachten zuerst eine Aufgabe aus dem Bereich Radrennen. Es lösen sich häufig kleine Gruppen von Fahrern vom Hauptfeld ab. Die Fahrer wechseln sich in der Führung ab, denn die vorderen Fahrer müssen gegen den Fahrtwind ankämpfen, während die hinteren in deren Windschatten fahren können. Aufgabe: Wie viele Reihenfolgen gibt es, wenn die Gruppe der Ausreißer aus drei Fahrern bestünde? Bild 1 zeigt, dass sechs verschiedene Reihen- folgen möglich sind. - Bei der aus vier Fahrern bestehenden Gruppe kann man wie folgt verfahren: In Bild 1 wird der Fahrer mit dem gelben Trikot an die erste Stelle gesetzt. Das sind die Reihenfolgen Nr. 1 - 6. Als nächstes tauscht man in jeder Reihe den Fahrer mit dem gelben Trikot gegen den mit dem grünen Trikot. Das sind die Reihenfolgen Nr. 7 - 12. Danach tauscht man gelb gegen rot usw.

Wir betrachten als nächstes eine Aufgabe aus dem Bereich Magi- sche Figuren. Im Bild 2, links ist die Ausgangsfigur der stilisierte Buchstabe T mit der Ziffer 4 oben links. Die übrigen Felder sollen mit den Ziffern 3, 5, 6, 7 belegt werden, und zwar so, dass die Ziffernsumme senkrecht und waagerecht gleich ist: 14, 15 oder 16. Es gibt sechs verschiedene Belegungen. Es gäbe weitere Bele- gungen, wenn man auf die Vorgabe der Ziffer 4 verzichten würde.

Mit Ziffern und Zahlen kann man weitere kombinatorische Aufgaben des Tpys Anordnen stellen. Beispiel: Andrea will für den Kode ihres Fahrradschlosses die Ziffern 2, 4, 8 verwenden. Die Ziffern kann sie sich leicht merken, denn sie hat am 24. 8. Geburtstag. Welche drei- stelligen Kodes kann man mit den Ziffern 2, 4, 8 bilden? Es gibt sechs Kodes: 248, 284, 428, 482, 824, 842.

Es folgt eine sog. Streichholzaufgabe, die man beispielsweise mit den im Lehrmittelhandel erhältichen grünen Legestäbchen ausführen lassen kann. - 16 Legestäbchen sind in einer Vierfeldertafel auf die Felder zu verteilen, so dass in jeder senkrechten und waagerechten Reihe gleich viele Stäbchen liegen. Bild 3 zeigt die vier Belegun- gen. Wenn man leere Felder zuließe, gäbe es sogar eine fünfte Be- legung. Man kann die Belegungen systematisch gewinnen, indem man ausgehend von der Gleichverteilung zwei Stäbchen verschiebt.

Weitere Aufgaben ergeben sich, wenn man die Vierfeldertafel durch eine Neunfeldertafel oder ein Fünffelderkreuz ersetzt. Ferner kann man die Anzahl der Legestäbchen verändern.

Auch das Geometrie-Steckbrett eignet sich für kombinatorische Aufgaben des Typs Anordnen. Ein Beispiel zeigt Bild 4. Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck, im Bild oben links. Es soll auf un- terschiedliche Weise in gleich große (kongruente) Dreiecke zerlegt werden. Auf dem Brett lassen sich drei Zerlegungen darstellen: 1. Das Dreieck wird durch die Höhe in zwei kongruente Dreiecke zerlegt. 2. Wenn man die Seitenmitten des Dreiecks verbindet, er- hält man vier kongruente Dreiecke. 3. Man zerlegt jedes der vier Dreiecke durch die Höhe und erhält so acht kongruente Dreiecke.