Bei kombinatorischen Aufgaben des Typs Kombinieren sind meis- tens zwei Mengen von Objekten vorgegeben, z. B. die Zehner 3Z, 5Z, 7Z, 9Z und die Einer 3, 5, 9. Aus ihnen wird eine dritte Menge gebildet, indem man die Objekte beider Mengen paaarweise kom- biniert - siehe Bild 1. Zusätzlich kann man eine Bedingung angeben, durch die Paare ausgeschlossen werden - Beispiel siehe Finger- zahlen. - Entsprechend kann man Objekte von drei und mehr Men- gen miteinander kombinieren.

Die Schwierigkeit der Aufgabe besteht darin, sämtliche Paare (Tri- pel, Quadrupel) zu finden. Dies ist nur dann möglich, wenn man systematisch vorgeht. Das Lehrziel ist die Anbahnung der Fähigkeit zum systematischen Vorgehen.

Fast alle Unterrichtsmittel der DVD Lernmittel Mathematik zum The- ma liegen in einer Version für die Tafelarbeit und einer für die Klein- gruppenarbeit vor. Für die Einführung empfehlen wir die Tafelarbeit.

Für die Tafelarbeit liegt folgende Vorgehensweise nahe: Erst sam- meln wir die Vorschläge der Schüler und protokollieren sie bildlich bzw. schriftlich an der Tafel. Sobald keine weiteren Lösungen vorge- schlagen werden, wird den Schülern die Schwierigkeit der Aufgabe bewusst: der Nachweis der Vorständigkeit. Von da ab geht es da- rum, die vorhandenen Vorschläge neu zu ordnen, bis man sicher ist, dass nichts vergessen wurde.

Mit den Fingern der rechten Hand stellt man die Zahlen 1 2 3 4 5 und mit den Fingern der linken Hand die Zahlen 6 12 18 24 30 dar. Die Zahldarstellung im 6-er System ist kein mathematisches Artefakt. Sie wurde in früherer Zeit von Händlern auf dem Markt benutzt, um unter einer Decke den Preis für eine Ware auszuhandeln. - Nach einführenden Übungen zum Zahldarstellen werden kombinatorische Aufgaben gestellt. Beispiele: 1. Stell alle Zahlen mit gleich vielen Fingern an jeder Hand dar. 2. Stell alle Zahlen mit einem Finger der linken Hand dar. 3. Stell alle Zahlen mit zwei Fingern der rechten Hand dar. 4. Stell alle Zahlen mit zusammen vier Fingern an linker und rechter Hand dar. - Die eine Menge sind die Finger der linken Hand, die andere Menge die Finger der rechten Hand. Bild 2 zeigt alle Zahlen mit zusammen sechs Fingern an linker und rechter Hand.

Im Unterrichtsmittel "Laura kombiniert" wird u. a. folgende Aufgabe gestellt: Zum Ankleiden ihrer Puppe hat Laura 2 Hosen, 3 Oberteile und 2 Paar Strüpfe. Für wie viele Tage reichen die Teile, wenn sie der Puppe jeden Tag etwas Anderes anziehen möchte? Von jedem Kleidungsstück sind sechs Karten zum an die Tafel heften (Ausle- gen auf dem Tisch) vorhanden. Es gibt mehrere Wege, alle Kombi- nationen bildlich darzustellen. Bild 3 zeigt eine der in Frage kom- menden bildlichen Darstellungen. - Die vorliegende Aufgabe ist ein Beispiel für die Kombinatin von drei Mengen zu einer vierten Menge, deren Objekte aus Tripeln bestehen.

Im Unterrichtsmittel "Bilder von Stefanie" werden vier Mengen kom- biniert: 1. Farbe der Mütze: braun, grau. 2. Tönung der Brillengläser: rot, blau. 3. Farbe des Pullis: rosa, grün. 4. Farbe des Anhängers: rot, blau. Jede Menge besteht aus zwei Objekten. Die Verteilung der acht Objekte auf Karten und die nachfolgende Kombination von je vier Karten zu einem Portrait von Stefanie wäre unanschaulich. Um dies zu vermeiden, liegen alle in Frage kommenden 16 Kombina- tionen bereits als Portraits vor. Die verschiedenen Aufgaben basie- ren darauf, dass man die 16 Portraits in einer quadratischen 16-Fel- dertafel so anordnen kann, dass den Portraits jeder senkrechten und jeder waagerechten Reihe ein Objekt entspricht, d. h. dass z. B. alle Mützen einer Reihe braun sind. Bild 4 zeigt eine 16-Feldertafel. - Aufgaben: 1. In der Tafel sind eine senkrechte und eine waage- rechte Reihe mit Portraits belegt. Gesucht wird das gemeinsame Objekt der waagerechten bzw. der senkrechten Reihe. 2. In der Tafel sind die Felder teilweise belegt. Die fehlenden Portraits sind einzu- setzen. 3. Die Tafel ist vollständig belegt, aber fehlerhaft. Zwei Portraits in falscher Position müssen ausgetauscht werden.

(C) Wolfgang Reitberger, Berlin