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Kombinatorische Strategie: Auswählen

Bei kombinatorischen Aufgaben des Typs Auswählen ist eine Menge von Objekten vorgegeben, z. B. die Münzen: 20 10 10 5 2 2 2 1 Cent. Aus dieser Menge sind sämtliche Teilmengen auszuwählen, die eine be- stimmte Bedingung erfüllen, z. B. die Münzen, mit denen man genau 26 Cent zahlen kann.

Die Schwierigkeit solcher Aufgaben besteht darin, alle Objekte bzw. Teil- mengen zu finden, die die Bedingung erfüllen. Dies ist nur dann möglich, wenn man strategisch vorgeht. Das eigentliche Lehrziel ist die Anbah- nung der Fähigkeit zum strategischen Vorgehen.

Fast alle Unterrichtsmittel der DVD Lernmittel Mathematik zum Thema liegen in einer Version für die Tafelarbeit und einer für die Kleingruppen- arbeit vor. Für die Einführung empfehlen wir unbedingt die Tafelarbeit. Dadurch können wir sicherstellen, dass alle Schüler das auf den ersten Blick nicht sichtbare Problem der Vollständigkeit der Lösung erkennen.

Für die Tafelarbeit liegt folgende Vorgehensweise nahe: Erst sammeln wir die Vorschläge der Schüler und protokollieren sie bildlich bzw. schriftlich an der Tafel. Sobald keine weiteren Lösungen vorgeschlagen werden, wird den Schülern die Schwierigkeit der Aufgabe bewusst: der Nachweis der Vorständigkeit. Von da ab geht es darum, die vorhan- denen Vorschläge neu zu ordnen, bis man sicher ist, dass nichts ver- gessen wurde.

Wir betrachten zuerst eine Aufgabe aus dem Bereich der Cent-Münzen. Im Geldbeutel sind acht Münzen: 20 10 10 5 2 2 2 1 Cent. Welche Möglichkeiten gibt es, mit den Münzen 26 Cent zu zahlen? - Zum Bearbeiten der Aufgabe sollten ausreichend viele Münzen vorhanden sein, so dass man alle Lösungen bildlich darstellen kann und nichts anschreiben muss. Das Umordnen fällt Grundschülern nämlich viel leichter als das erneute Anschreiben der Lösungen. Bild 1 zeigt eine systematische Ordnung der Lösungen. Möglicherweise entwickeln Schü- ler eine andere Ordnung.

Es folgt eine Aufgabe aus dem Bereich Briefmarken. Die zugrunde lie- gende Menge sind häufig verwendete Marken der Blumenserie: 5 10 20 25 35 45 50 55 90 Cent. Die Postkarte wird mit 45 Cent frankiert. Mit welchen zwei Marken könnte man die Postkarte frankieren, falls man keine 45 Cent Marke zur Hand hat? Bild 2 zeigt die Lösung. - Aufgaben, bei denen man von Marken mehrere Exemplare benötigt, kann man an der Tafel wegen des Materialaufwands nicht mehr ausschließlich bildlich lösen.

Es folgt ein Beispiel aus dem Unterrichtsmittel "Zwei Kugeln Eis". Eine Eisdiele führt fünf Sorten Eis: Erdbeere, Heidelbeere, Mandarine, Scho- kolade, Zitrone. Aufgabe: Wie viele Möglichkeiten gibt es, Tüten mit zwei Kugeln zu verkaufen, wenn in jeder Tüte zwei verschiedene Sorten Eis sind? Zum Darstellen von fünf Eissorten stehen ausreichend viele far- bige Halbkreise zur Verfügung. Bild 3 zeigt eine systematische Dar- stellung der Lösung an der Stahltafel. Letztere wird in gemeinsamer Ar- beit aus den spontan geäußerten Vorschlägen der Schüler nach folgen- dem Prinzip entwickelt: In der ersten Reihe sind alle Paare mit Erdbeere. In der zweiten Reihe sind alle Paare mit Zitrone, wobei das Paar Zitrone-Erdbeere nicht aufgeführt werden darf, weil es bereits in der ersten Reihe ist. Es folgen die Paare mit Scholkolde und danach die mit Mandarine.

Auf dem Geometrie-Steckbrett der Lernwerkstatt Lippe stellt man eine Strecke dar, indem man nur die Endpunkte durch Zapfen markiert und diese durch einen Gummiring verbindet. Die übrigen Löcher des Bretts bleiben frei. Die Strecke in Bild 4 links soll zu einem rechtwinkligen Drei- eck erweitert werden. Es git drei verschiedene, d. h. nicht-kongruente, Lösungen. Die Objektmenge sind alle Dreiecke, in denen die genannte Strecke eine Seite ist, die gesuchten Objekte sind die rechtwinkligen Dreiecke. - Aus Platzmangel ist im Bild nur eine Lösung dargestellt. Die zweite Lösung wäre das an der Kathete gespiegelte Dreieck. Ferner gäbe es noch zwei kleinere kongruente Dreiecke. - Zum Protokollieren der Lösungen erhalten die Schüler eine Kopiervorlage mit Blanko-Geo- brettern.

Man kann zahlreiche kombinatorische Aufgaben bilden, in denen die Ob- jektmengen Zahlen sind, z. B. die Zahlen bis 30. Als Teilmengen kom- men im Beispiel etwa die durch 3/5/6 teilbaren Zahlen oder die Prim- zahlen in Betracht.





Bild 1:
Betrag 26 Cent
Bild 2:
Postkarte 45ct
Bild 3:
Eissorten
Bild 4:
rechtwinkliges Dreieck