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Kombinatorische Strategie: Paare bilden

Bei kombinatorischen Aufgaben des Typs Kombinieren sind meistens zwei Mengen von Objekten vorgegeben, z. B. die Zehner 3Z, 5Z, 7Z, 9Z und die Einer 3, 5, 9. Aus ihnen wird eine dritte Menge gebildet, indem man die Objekte beider Mengen paaarweise kombiniert - siehe Bild 1. Zusätzlich kann man eine Bedingung angeben, durch die Paare aus- geschlossen werden - Beispiel siehe Fingerzahlen. - Entsprechend kann man Objekte von drei und mehr Mengen miteinander kombinieren.

Die Schwierigkeit der Aufgabe besteht darin, sämtliche Paare (Tripel, Quadrupel) zu finden. Dies ist nur dann möglich, wenn man strategisch vorgeht. Das Lehrziel ist die Anbahnung der Fähigkeit zum strategischen Vorgehen.

Fast alle Unterrichtsmittel der DVD Lernmittel Mathematik zum Thema liegen in einer Version für die Tafelarbeit und einer für die Klein- gruppenarbeit vor. Für die Einführung empfehlen wir die Tafelarbeit.

Für die Tafelarbeit liegt folgende Vorgehensweise nahe: Erst sammeln wir die Vorschläge der Schüler und protokollieren sie schriftlich, besser noch bildlich an der Tafel. Sobald keine weiteren Lösungen vorgeschla- gen werden, wird den Schülern die Schwierigkeit der Aufgabe bewusst: der Nachweis der Vorständigkeit. Von da ab geht es darum, die vorhan- denen Vorschläge neu zu ordnen, bis man sicher ist, dass nichts ver- gessen wurde.

Beim Erarbeiten der Strategie zur Sicherung der Vollständigkeit zeigt sich, dass die bildliche Darstellung der Objekte durch Haftmaterial güns- tiger als die schriftliche ist. Man muss nichts wegwischen oder durch- streichen und neu anschreiben. Vielmehr genügt es, die Objekte gege- benenfalls von der Tafel abzunehmen und an anderer Selle anzuheften.

Mit den Fingern der rechten Hand stellt man die Zahlen 1 2 3 4 5 und mit den Fingern der linken Hand die Zahlen 6 12 18 24 30 dar. Die Zahldarstellung im 6-er System ist kein mathematisches Artefakt. Sie wurde in früherer Zeit von Händlern auf dem Markt benutzt, um unter einer Decke den Preis für eine Ware auszuhandeln. - Nach einführenden Übungen zum Zahldarstellen werden kombinatorische Aufgaben gestellt. Beispiele: 1. Stell alle Zahlen mit gleich vielen Fingern an jeder Hand dar. 2. Stell alle Zahlen mit einem Finger der linken Hand dar. 3. Stell alle Zahlen mit zwei Fingern der rechten Hand dar. 4. Stell alle Zahlen mit zusammen vier Fingern an linker und rechter Hand dar. - Die eine Menge sind die Finger der linken Hand, die andere Menge die Finger der rechten Hand. Bild 2 zeigt alle Zahlen mit zusammen sechs Fingern an linker und rechter Hand.

Im Unterrichtsmittel "Laura kombiniert" wird u. a. folgende Aufgabe gestellt: Zum Ankleiden ihrer Puppe hat Laura 2 Hosen, 3 Oberteile und 2 Paar Strüpfe. Für wie viele Tage reichen die Teile, wenn sie der Puppe jeden Tag etwas Anderes anziehen möchte? Von jedem Kleidungsstück sind sechs Karten zum an die Tafel heften (Auslegen auf dem Tisch) vorhanden. Es gibt mehrere Wege, alle Kombinationen bildlich darzu- stellen. Bild 3 zeigt eine der in Frage kommenden bildlichen Darstel- lungen. - Die Aufgabe ist ein Beispiel für die Kombination von drei Men- gen zu einer vierten Menge, deren Objekte aus Tripeln bestehen.

Im Unterrichtsmittel "Bilder von Stefanie" werden vier Mengen kombi- niert: 1. Farbe der Mütze: braun, grau. 2. Tönung der Brillengläser: rot, blau. 3. Farbe des Pullis: rosa, grün. 4. Farbe des Anhängers: rot, blau. Jede Menge besteht aus zwei Objekten. Die Verteilung der acht Objekte auf Karten und die nachfolgende Kombination von je vier Karten zu einem Portrait von Stefanie wäre unanschaulich. Um dies zu vermeiden, liegen alle in Frage kommenden 16 Kombinationen bereits als Portraits vor. Die verschiedenen Aufgaben basieren darauf, dass man die 16 Portraits in einer quadratischen 16-Feldertafel so anordnen kann, dass den Portraits jeder senkrechten und jeder waagerechten Reihe ein Ob- jekt entspricht, d. h. dass z. B. alle Mützen einer Reihe braun sind. Bild 4 zeigt eine 16-Feldertafel. - Aufgaben: 1. In der Tafel sind eine senk- rechte und eine waagerechte Reihe mit Portraits belegt. Gesucht wird das gemeinsame Objekt der waagerechten bzw. der senkrechten Reihe. 2. In der Tafel sind die Felder teilweise belegt. Die fehlenden Portraits sind einzusetzen. 3. Die Tafel ist vollständig belegt, aber fehlerhaft. Zwei Portraits in falscher Position müssen ausgetauscht werden.







Bild 1:
Zahlen
Bild 2:
sechs Finger
Bild 3:
Ankleiden der Puppe
Bild 4:
Bilder von Stefanie