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Zahlen als Punktmengen

Das Dezimalystem bündelt die Zahlen in Zehner, Hunderter usw. Die Schüler erfahren die dekadische Bündelung nicht als dominierende, son- dern nur als eine unter mehreren Bündelungen. Beispielsweise sind fast alle Süßigkeiten nichtdezimal gebündelt: Handelsübliche Packungen ent- halten 9 Bounty, 10 Duplo, 5 Mars, 12 Hanuta, 15 Toffifee usw. Wir kön- nen uns bei der dekadischen Bündelung nicht auf Vorerfahrungen der Schüler stützen. Das Dezimalsystem existiert nur in unserem Kopf. Wir benötigen Unterrichtsmittel zum Vergegenständlichen des Dezimalsys- tems. Durch den Gebrauch des Unterrichtsmittels eignen sich die Schü- ler das Dezimalsystem an.

Man kann Zahlen im Dezimalsystem flächig durch Punkte und räumlich durch Kugeln vergegenständlichen. Allerdings gibt es zwei konkurrieren- de Modelle, das Streifen- und das Rechteck-Modell.

Bild 1: Im Streifen-Modell werden Zahlen durch Punkte oder Kugeln in einer Reihe dargestellt. Die Fünferzäsur wird auf Papier durch eine Lü- cke, auf dem Rechenrahmen durch Farbwechsel markiert.

Bild 2: Im Rechteckmodell werden Zahlen bis 10 in zwei Reihen mit maximal fünf Punkten je Reihe dargestellt. Die Fünferzäsur wird durch eine vollständige Fünferreihe kenntlich gemacht.

Für die Mehrheilt der Schüler sind die Unterschiede zwischen Streifen- und Rechteck-Modell unwichtig, wenn man ihnen die Zeit gibt, sich mit dem Modell vertraut zu machen. Beide Modelle haben sich im Unterricht über Jahrzehnte hinweg bewährt. Grundschullehrer bevorzugen das Streifen-Modell, weil die Schulbücher es verwenden. Förderschullehrer bevorzugen das Rechteck-Modell, weil man in dem Modell das "zäh- lende Rechnen" effektiver unterbinden kann.

Wer im Zahlraum bis 20/100 mit dem Streifen-Modell arbeiten möchte, sollte Rechenrahmen einsetzen (der Rechenrahmen von Lehrmittel Betzold für den Zahlraum bis 1000 wurde von den Schulen nicht angenommen). - Wir beschränken uns in den folgenden Ausführungen auf das Rechteck-Modell.

Zum Herstellen der Punktebilder des Rechteckmodells stehen auf der DVD Lernmittel Mathematik Vorlagen für den Zahlraum bis 20/100/1000 zur Verfügung, jeweils in einer Ausführung für die Tafelarbeit bzw. die Kleingruppen- oder Einzelarbeit. Wie an anderer Stelle beschrieben wer- den die Vorlagen auf selbstklebendes Papier ausgedruckt, bildseitig la- miniert, auf Siebdruckpappe geklebt, auf Maß geschnitten (und für die Tafel mit Magnethaftern hinterklebt). Bild 3 zeigt, wie die Punktebilder von 1, 2, . . . , 9, 10, 100 an der Tafel aussehen. Die Punktebilder der anderen Zahlen werden aus den Punktebildern von 1, 2, . . . 9, 10, 100 zusammengesetzt.

Das Punktebild einer zusammengesetzten Zahl ist eindeutig. Bild 4 zeigt die zweistellige Zahl 36, Bild 5 die dreistellige Zahl 329. Die Ein- deutigkeit der Darstellung sollte beibehalten werden, denn der Wechsel der Darstellungsform würde das Erkennen des Zahlwerts erschweren. Allerdings sind bei Rechenhandlungen Verstöße gegen die Eindeutigkeit nicht zu vermeiden. In solchen Fällen muss man das Punktebild umge- hend in die Standardform überführen. Bild 6 zeigt oben die Addition 15 + 20, unten das bereinigte Punktebild 35.

Mit den Punktebildern lassen sich alle Rechenoperationen im Zahlraum bis 20/100/1000 durch Handlungen lösen. Wir beginnen im ersten Schul- jahr mit dem Zehnerübergang plus und minus, dem Verdoppeln und Halbieren. Im zweiten Schuljahr setzen wir mit den meist mehrschrittigen Rechnungen fort. Alle Operationen werden zuerst an der Tafel ausge- führt und anschließend in der Kleingruppe mit den dafür vorgesehenen Punktebildern gefestigt. Rechenschwache Schüler brauchen zusätzlich Einzelarbeit mit Punktebildern.

Mit dem Argument, man müsse jedem Schüler einen eigenen Lernweg zugestehen, wird konsequenterweise für die freie Wahl des Rechenwegs plädiert. Hierbei ist zweierlei zu bedenken: 1. Erst- und Zweitklässler können nicht voraussehen, ob der von ihnen gewählte Weg auch für das Rechnen mit größeren Zahlen taugt. 2. Rechenschwache Schüler er- warten, dass man ihnen einen Rechenweg vorgibt. Wer die Bedenken teilt, sollte in der Tafelarbeit erst einen Rechenweg einführen und diesen festigen, ehe er auf anderen Wegen rechnen lässt.

Zur Erläuterung des Ablaufs einer Rechenhandlung greifen wir auf Bild 6 zurück: Nach dem Tafelanschrieb: 15 + 20 werden die Punktebilder von 15 und 20 an die Tafel geheftet. Im Anschluss wird das Punktebild bereinigt und der Tafelanschrieb ergänzt: 15 + 20 = 35.







Bild 1:
Zahl 17 als Streifen
Bild 2:
Zahl 17 im Rechteck
Bild 3:
alle Punktebilder
Bild 4:
Punktebild 36

Bild 5: Punktebild 329
Bild 6:
Addition 15 + 20