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Mathematik

 

Geometrischen Objekt gliedern sich vorstellen

Raumvorstellung ist eine Sammelbezeichnung für mehrere Fähigkeiten, sich etwas visuell vorzustellen. Dieses Etwas kann die Zerlegung eines Körpers in vorgegebene Teilkörper, die Zerlegung einer Fläche in vorge- gebene Teilflächen oder die Zerlegung eines Liniennetzes in vorgege- bene Linienstücke sein.

Die Fähigkeit, sich die Zerlegung eines Raums in gegebene Teile vorzu- stellen, braucht man zur Lösung von Verpackungsaufgaben im weitesten Sinne, zum Beispiel beim Bestücken des Geschirrspülers, beim Verstau- en von Koffern und Taschen im Kofferraum des Autos oder beim Verteilen von Schreibutensilien auf dem Schreibtisch.

Die DVD Lernmittel Mathematik enthält zahlreiche Unterrichtsmittel zur Zerlegung von Körpern, Flächen und Liniennetzen. In den folgenden Abschnitten wird eine Auswahl von Aufgaben aus diesen Unterrichts- mitteln vorgestellt:


1. Liniennetze

Bild 1: Das Liniennetz kann die Kontur eines Gegenstandes oder ein Linienmuster sein. Die Schüler legen das Netz mit vorgegebenen Lini- enstücken auf quadratischen Kärtchen nach. Die Zwischenräume ohne Linienelemente werden mit Blanko-Kärtchen ausgefüllt. Im Bild links sieht man die Vorlage eines Linienmusters und im Bild rechts das mit Linienkärtchen gelegte Muster. Das Unterrichtsmittel liegt in einer Ver- sion für die Freiarbeit und einer Version für die Tafelarbeit vor.

Bild 2: Auf dem Geometrie-Steckbrett der Lernwerkstatt Lippe ist das Liniennetz ein offener/geschlossener Streckenzug. Das Linienstück ist die Strecke, auf dem Brett ein Gummiring zwischen zwei Zapfen. Das Bild zeigt links die Vorlage eines Streckenzugs, rechts dessen Reali- sierung auf dem Geometrie-Steckbrett.

2. Flächen

Beim Zerlegen einer Fläche in Teilflächen unterscheiden wir zwi- schen polygonalen, d. h. geradlinig berandeten, Teilflächen wie Quadrat, Drei- eck oder Raute und Teilflächen mit Rundungen, wie sie etwa beim Zer- schneiden eines Kreises entstehen. Tangramfiguren mit einer Bedeu- tung: Gegenstände, Buchstaben, Ziffern, Menschen und Tiere sind An- wendungsfälle für die Zerlegung in polygonale Teilflächen. Die Vögel von Kempinsky, das gebrochene Herz und der zerbrochene Kreis sind Anwendungsfälle für die Zerlegung in Polygone, aber auch Teilflächen mit Rundformen.

Bild 3: Die Teilflächen des Unterrichtsmittels "Zerlegte Sechsecke" sind sechs gleichseitige Dreiecke und drei Rauten. Man erhält sie, wenn man ein regelmäßiges Sechseck ein Mal in Dreiecke und ein zweites Mal in Rauten zerlegt. Die auszulegenden Flächen sind stilisierte Gegenstände, Tiere und Zeichen. Im Bild links sieht man die Vorlage, eine stilisierte Rakete, im Bild rechts die mit Dreiecken und Rauten gelegte Rakete. Es gibt verschiedene Zerlegungen. Das Unterrichtsmittel liegt in einer Version für die Freiarbeit und in einer Version für die Tafelarbeit vor.

Bild 4: Die sieben Teilflächen von Tangram sind allgemein bekannt. Sie ergeben sich aus der Zerlegung des Quadrats. Es wurden zahlreiche Flächen zum Auslegen mit Tangramteilen ersonnen. Auf der DVD Lernmittel Mathematik findet man elementare geometrische Flächen wie Rechteck und Parallelogramm, ferner stilisierte Buchstaben, Ziffern, Menschen, Tiere und Gegenstände. Im Bild links sieht man die Vorlage, einen stilisierten Handstand, im Bild rechts den mit Tangramteilen gelegten Handstand. Das Unterrichtsmittel liegt in einer Version für die Freiarbeit und in einer Version für die Tafelarbeit vor.

Bild 5: Walter Kempinsky zerlegte ein eiförmiges Gebilde, das sog. magische Ei, in neun Teilflächen. Nur drei Teilflächen sind Polygone, die übrigen sind Kreissektoren oder Teile von Kreissektoren. Kempinsky gelang es, mit den neun Teilen insgesamt 64 verschiedene Vögel darzustellen. Auf der DVD Lernmittel Mathematik findet man eine Aus- wahl von 20 Vögeln. Im Bild links sieht man die Vorlage, einen der Vögel, im Bild rechts den mit den Teilflächen des magischen Eis ge- legten Vogel. Das Unterrichtsmittel liegt in einer Version für die Freiarbeit und in einer Version für die Tafelarbeit vor.

"Gebrochenes Herz" und "Zerbrochener Kreis" sind weitere Unter- richtsmittel mit nicht-polygonalen Teilflächen. Die Teilflächen werden durch Zerlegung eines stilisierten Herzes bzw. durch Zerlegung eines Kreises gewonnen. Wir verzichten an dieser Stelle auf Abbildungen von Aufgaben und Lösungen.


3. Körper

Unter Körpern verstehen wir gegenwätig im Wesentlichen Würfelkörper. Diese bestehen entweder aus einzelnen Würfeln oder aus Bausteinen, die ihrerseits aus Würfeln zusammengesetzt sind. Bekannt sind vor allem die Soma-Bausteine. Es kommen aber auch andere Bausteine in Betracht, z. B. die Quader von "Werners Würfel".

Bild 6: Die sieben Soma-Bausteine erhält man, wenn man einen aus 27 Würfeln zusammengesetzten größeren Würfel in sechs Wür- felvierlinge und einen Würfeldrilling zerlegt. Mit ihnen errichten die Schüler vorgegebene Bauwerke. Diese können aus zwei bis sieben Bausteinen bestehen. Besonders geeignet sind die von Boris und Lena Nikitin verwendeten farbigen Bausteiene. Sie ermöglichen un- terschiedliche Aufgabenstellungen. Das Bild links zeigt ein stilisier- tes Sofa, das Bild rechts seinen Aufbau aus Soma-Bausteinen. Um das Bearbeiten der Aufgabe zu erleichtern, sind Art und Lage der Bausteine im Bauwerk angegeben - im Bild nicht dargestellt.

Bild 7: Drei ebenen Soma-Bausteine sind stilisierte Buchstaben: L, T und Z. Wir bezeichnen sie deshalb als LTZ-Bausteine. Man kann jeden Baustein durch Verleimen von Holzwürfeln herstellen. Mit den LTZ-Bausteinen lassen sich u. a. rechteckige Muster für Parkette entwickeln. Es kommen mehrere Aufgabenstellungen in Betracht. Das Bild oben links zeigt die Abmessungen des Musters, das Bild rechts unten eines von mehreren möglichen Parkettmustern

Bild 8: Drei ebenen Soma-Bausteine sind stilisierte Buchstaben: L, T und Z. Wir bezeichnen sie deshalb als LTZ-Bausteine. Man kann jeden Baustein durch Verleimen von Holzwürfeln herstellen. Mit den LTZ-Bausteinen lassen sich Mauerverbände für Wände, Ecken und Schornsteine entwickeln. Das Bild rechts oben zeigt die Abmes- sungen einer Ecke, das Bild links unten einen Eckverband aus LTZ-Bausteinen mit einer für Verbände üblichen Verzahnung.

Bild 9: Vorgegeben ist ein Würfelkörper. Das Bild zeigt beispielhaft eine stilisierte Treppe. Aufgabe: Aus wie vielen Würfeln besteht der Körper? (Auf der Rückseite sind keine Würfel versteckt.) Um die Aufgabe zu lösen, zerlegt man den Körper vertikal oder horizontal in Schichten. Man bestimmt die Anzahl der Würfel je Schicht und ad- diert die Anzahlen. Die horizontale Zerlegung führt auf die Rechnung 12 + 6 + 2, die vertikalen Zerlegungen auf die Rechnungen 6 + 6 + 5 + 3 bzw. 9 + 7 + 4.






Bild 1:
Linienmuster

Bild 2:
Sanduhr

Bild 3: Rakete Bild 4: Handstand Bild 5: Vogel
Bild 6: Sofa Bild 7: Parkett Bild 8: Verband Bild 9: Würfelkörper