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Mathematik

 

Geometrisches Objekt bewegen sich vorstellen

Raumvorstellung ist eine Sammelbezeichnung für mehrere Fähigkeiten, sich etwas visuell vorzustellen. Dieses Etwas kann die Bewegung eines Körpers, einer Fläche oder eines Liniennetzes sein.

Die Fähigkeit, sich die Bewegung eines geometrischen Objekts visuell vorzustellen, wird in Alltag und Beruf häufig benötigt, zum Beispiel beim Verschieben eines Möbelstücks, wenn es beengt ist.

Bewegungen im engeren Sinne sind Verschiebungen und Drehungen. Jede noch so komplexe Bewegung eines starren Objekts ist eine Abfolge von Verschiebungen und Drehungen. Weil die Mathematik Verschieben, Drehen und Spiegeln im gleichen Modell (orthogonale lineare Transfor- mation) beschreibt, zählt man die Spiegelung zu den Bewegungen, ob- gleich sie meistens keine reale Bewegung ist.

Alle Lehrpläne verlangen die Spiegelung von Linie und Fläche an einer Geraden (Spiegelachse). Die Erweiterung um die Spiegelung von Kör- pern an der Fläche (Spiegelebene) wird noch nicht bedacht.

Einige Lehrpläne sehen darüber hinaus die Drehung von Linie und Flä- che vor. Weil sie neben Verschiebung und Spiegelung die dritte Methode ist, um aus einem Grundmuster ein Parkett herzustellen, bietet es sich an, die Drehung beim Parkettieren zu behandeln.

Obwohl es geeignete Aufgaben gibt, wird die Erweiterung um die Dre- hung von Körpern, z. B. Kippen von Würfel und Quader über die Kante, in den Lehrplänen gegenwärtig noch nicht bedacht.

Bewegungen im weiteren Sinne sind solche, bei denen zugleich das Ob- jekt verformt wird, zum Beispiel beim Falten von Papier, beim Verknoten von Schnur und Seil und beim Flechten von Band.

Die DVD Lernmittel Mathematik enthält zahlreiche Unterrichtsmittel zum Bewegen von Körpern, Flächen und Liniennetzen. Wir stellen eine Aus- wahl von Aufgaben aus Unterrichtsmitteln auf der DVD vor.

Soweit machbar erhalten Schüler mit wenig entwickelter Vorstellungskraft Hifsmittel, z. B. einen Spiegel, um die Aufgaben zunächst handelnd zu lösen. Nach ausreichend vielen Handlungserfahrungen verzichten sie von sich aus auf auf die Benutzung von Hilfsmitteln.


1. Liniennetz spiegeln, drehen und verschieben

Bild 1: Das Bild links zeigt die Aufgabe auf einer Karte: Original und Spiegelachse. Das Spiegelbild, im Bild rechts, muss mit neun Linien- kärtchen gelegt werden. Falls erforderlich können die Schüler den bei- liegenden Standspiegel zu Hilfe nehmen. (Das gelegte Spiegelbild ist größer als das auf der Karte abgebildete Original.) Das Unterrichtsmittel liegt in einer Version für die Freiarbeit und einer für die Tafelarbeit vor.

Bild 2: Das Bild links zeigt die Aufgabe auf einer Karte: Das schräg liegende Quadrat ist an der Senkrechten zu spiegeln. Das Spiegelbild, im Bild rechts, muss auf dem Geometrie-Steckbrett der Lernwerkstatt Lippe mit Zapfen und Ringgummis hergestellt werden. Falls erforderlich, kann der Schüler vorher das Steckbrett auf der Karte im Handspiegel spiegeln. (Das Spiegelbild auf dem Steckbrett ist viel größer als das auf der Karte abgebildete Original.)

Bild 3: Das Bild links zeigt die Aufgabe auf einer Karte: Das Linien- muster ist um ein viertel nach rechts zu drehen. Das gedrehte Muster, im Bild rechts, muss mit neun Linienkärtchen gelegt werden. (Das gedrehte Muster ist größer als das originäre Muster.) Falls erforderlich, können die Schüler vorher die Karte probeweise um ein viertel nach rechts drehen. Das Unterrichtsmittel liegt in einer Version für die Freiarbeit und einer Version für die Tafelarbeit vor.

Bild 4: Gegeben sind 24 Kärtchen mit zwei Viertelecken (im Bild rechts). Ein solches Kärtchen bildet das Muster (im Bild links rot umrandet). Wenn man es schrittweise nach rechts bzw. nach unten verschiebt und dabei stets um ein viertel nach links dreht, erhält man nach 23 Verschiebungen ein Parkett (im Bild links). Das Unterrichtsmittel liegt in einer Version für die Freiarbeit und einer Version für die Tafelarbeit vor.

In vielen Fällen erhält man andere Parkette, wenn man das Muster (a) nur verschiebt, (b) es um ein viertel nach rechts dreht, (c) um ein halb dreht oder (d) an der rechten/unteren Seite spiegelt. Darüber hinaus ge- winnt man weitere Parkette, wenn man aus vier Kärtchen ein quadra- tisches Muster bildet und dieses wiederum - wie oben beschrieben - verschiebt, dreht und spiegelt. - Falls erforderlich kann beim Spiegeln einen Standspiegel benutzt werden.


2. Flächen spiegeln, drehen und verschieben

Bild 5: Spiegeln der Tangram-Figur "Hürdenläufer". Das Bild links zeigt die Aufgabe auf einer Karte: Original und Spiegelachse. Das Spiegelbild, im Bild rechts, muss mit Tangram-Teilen gelegt werden. Falls erfor- derlich, kann der Schüler den beiliegenden Handspiegel zu Hilfe nehmen. (Das gelegte Spiegelbild ist größer als das auf der Karte abgebildete Original.) Das Unterrichtsmittel liegt in einer Version für die Freiarbeit und einer Version für die Tafelarbeit vor.

Bild 6: Spiegeln eines Vogels von Kempinsky. Das Bild links zeigt die Aufgabe auf einer Karte; Original und Spiegelachse. Das Spiegelbild, im Bild rechts, muss mit den neun Teilen der Vögel von Kempinsky gelegt werden. Falls erforderlich, kann der Schüler den beiliegenden Hand- spiegel zu Hilfe nehmen. (Das gelegte Spiegelbild ist größer als das auf der Karte abgebildete Original.) Das Unterrichtsmittel liegt in einer Ver- sion für die Freiarbeit und einer Version für die Tafelarbeit vor.

Bild 7: Uhrzeiger ohne Zifferblatt spiegeln. - Das Bild links zeigt die Aufgabe auf einer Karte: Uhrzeit und Spiegelachse. Die gespiegelten Uhrzeiger, im Bild rechts, müssen auf der beiliegenden Plastik-Lernuhr eingestellt werden. Falls erforderlich, kann der Schüler den beiliegenden Handspiegel zu Hilfe nehmen. (Uhrzeiger und Zifferblatt sind auf der Lernuhr größer als auf der Karte.)

Bild 8: Uhrzeiger mit Zifferblatt spiegeln. - Das Bild rechts zeigt auf einer Karte: die an der Senkrechten gespiegelte Uhrzeit. Die Aufgabe besteht darin sich vorzustellen, wie spät es tatsächlich ist. Das Bild links zeigt die Lösung. Falls erforderlich, kann der Schüler den beiliegenden Hand- spiegel zu Hilfe nehmen.

Bild 9: Das Bild links zeigt eine Zielfigur auf einem quadratischen Kärt- chen. Sie ist - auf den ersten Blick nicht erkennbar - aus vier qua- dratischen Mustern zusammengesetzt. Diese und andere Muster stehen auf insgesamt 16 Spielsteinen zur Verfügung. Die Aufgabe besteht darin, die Vorlage mit zwei Spielsteinen und deren Spiegelbild im Standspiegel herzustellen. Das Bild rechts zeigt die Lösung (ohne Darstellung des Spiegelbilds).

Bild 10: Spiegelexperimente an der Wunderblüte. - Das Bild links zeigt die Wunderblüte mit ihren drei roten und weißen Blättern auf einer Karte. Das Bild mittig zeigt die gleiche Blüte mit einem Standspiegel. Wenn man seitlich in den Standspiegel blickt, sieht man die im Bild rechts darge- stellte Blüte. Durch geschicktes Positionieren des Standspiegels kann man nämlich das Verhältnis von rot zu weiß verändern. - Die Aufga- benstellung erfolgt in der umgekehrten Richtung: Zu vorgegebenem Spiegelbild muss die passende Stellung des Standspiegels auf der Wunderblüte ermittelt werden. Das Unterrichtsmittel liegt in einer Version für die Freiarbeit und einer Version für die Tafelarbeit vor.

Bild 11: Bild links zeigt die Aufgabe auf einer Karte: Das Vierfarben-Muster ist um ein viertel nach links zu drehen. Das gedrehte Muster, im Bild rechts, wird mit vierfarbigen quadratischen Kärtchen gelegt. Es sind 18 Kärtchen vorhanden. Falls erforderlich können die Schüler vorher die Karte probeweise um ein viertel drehen. Das Unterrichtsmittel liegt in einer Version für die Freiarbeit und einer Version für die Tafelarbeit vor.

Bild 12: Bild links zeigt die Aufgabe auf einer Karte: Das quadratische LTZ-Muster ist um ein viertel nach links zu drehen. Das gedrehte Muster, im Bild rechts, wird mit vier LTZ-Plättchen gelegt. Es sind 18 LTZ-Plättchen aus Plastik vorhanden. Falls nötig können die Schüler vorher jede einzelne Karte um ein viertel nach links drehen. Das Unterrichts- mittel liegt in einer Version für die Freiarbeit und einer Version für die Tafelarbeit vor.


3. Körper spiegeln, drehen und kippen

Unter Körpern verstehen wir gegenwätig im Wesentlichen Würfelkörper. Diese bestehen aus einzelnen Würfeln. Es kommen aber auch Quader in Betracht. Empfehlenswert sind Quader mit Fröbel-Proportionen 1:2:4, weil diese sich auch in anderen Anwendungsfällen einsetzen lassen.

Bild 13: Bild links zeigt die Aufgabe auf einer Karte: die Konturen eines Würfelkörpers und eine Spiegelebene. Der Körper und sein Spiegelbild sind mit den beiliegenden Würfeln herzustellen. Das Bild rechts zeigt die Lösung.

Bild 14: Der Würfel im Bild links ist aus acht zweifarbigen Würfeln mit je drei roten und blauen Seitenflächen zusammengesetzt. Er muss erst hergestellt und danach auf Spiegelebenen untersucht werden. Das Bild rechts zeigt eine der beiden Spiegelebenen.

Bild 15: Ein Quader trägt auf der Grund- bzw. Deckfläche das Bild eines Igels bzw. eines Hasen. Kippt man den Quader über die Kanten nach links/rechts/vorn/hinten, so hinterlässt er eine Spur. Aufgabe: Im Bild links oben liegt der Igel oben. Wer liegt oben, wenn man den Quader achtmal kippt wie im Bild dargestellt, der Igel oder der Hase? - Falls es erfor- derlich sein sollte, können die Schüler die Kippfolge mit dem beiliegenden Quader ausführen.

Bild 16: Von einem sechsfarbigen Würfel sieht man im Schrägbild nur drei Farben. Kippt man den Würfel nach rechts, links, vorn oder hinten, werden andere Farben sichtbar. Durch wiederholtes Kippen kann man insgesmt 24 verschiedene Ansichten erzeugen. Das Bild zeigt eine ge- schlossene Kippfolge. Man erzeugt sie, indem man beispielsweise die Ansicht des Würfels links oben (vorn: grün, oben: rot, seitlich: grau) und den Weg vorgibt. Die Aufgabe besteht darin, alle Ansichten mit Kärtchen zu legen. Falls die Vorstellugskraft nicht ausreicht, kann der Schüler den beiliegenden sechsfarbigen Würfel benutzen, um durch Kippen die be- nachbarte Ansicht zu ermitteln. Das Unterrichtsmittel liegt in einer Version für die Freiarbeit und einer Version für die Tafelarbeit vor.






Bild 1:
Linienmuster

Bild 2:
Quadrat auf dem Geobrett

Bild 3:
Linienmuster

Bild 4:
Linienparkett

Bild 5:
Hürdenläufer

Bild 6:
Vogel

Bild 7:
Lernuhren

Bild 8:
Uhrzeit

Bild 9:
Kreismuster

Bild 10:
Wunderblüte

Bild 11:
4-Farben-Muster

Bild 12:
LTZ-Muster

Bild 13:
Körper spiegeln

Bild 14:
zwei Spiegelebenen

Bild 15:
Igel kippen
Bild 16:

Farbwürfel kippen