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Zahlen als Kugeln am Rechenrahmen

Das Dezimalystem bündelt die Zahlen in Zehner, Hunderter usw. Die Schüler erfahren die dekadische Bündelung nicht als dominierende, sondern nur als eine unter mehreren Bündelungen. Beispielsweise sind fast alle Süßigkeiten nichtdezimal gebündelt: Handelsübliche Packungen enthalten 9 Bounty, 10 Duplo, 5 Mars, 12 Hanuta, 15 Toffifee usw. Wir können uns bei der dekadischen Bündelung nicht auf Vorerfahrungen der Schüler stützen. Das Dezimalsystem existiert nur in unserem Kopf. Wir benötigen Unterrichtsmittel zum Vergegenständlichen des Dezimal- systems. Durch den Gebrauch des Unterrichtsmittels eignen sich die Schüler das Dezimalsystem an.

Man kann Zahlen im Dezimalsystem flächig durch Punkte und räumlich durch Kugeln vergegenständlichen. Allerdings gibt es zwei konkurrieren- de Modelle, das Streifen- und das Rechteck-Modell.

Bild 1: Im Streifen-Modell werden Zahlen durch Punkte oder Kugeln in einer Reihe dargestellt. Die Fünferzäsur wird auf Papier durch eine Lücke, auf dem Rechenrahmen durch Farbwechsel markiert.

Bild 2: Im Rechteckmodell werden Zahlen bis 10 in zwei Reihen mit maximal fünf Punkten je Reihe dargestellt. Die Fünferzäsur wird durch eine vollständige Fünferreihe kenntlich gemacht.

Für die Mehrheilt der Schüler sind die Unterschiede zwischen Streifen- und Rechteck-Modell unwichtig, wenn man ihnen die Zeit gibt, sich mit dem Modell vertraut zu machen. Beide Modelle haben sich im Unterricht über Jahrzehnte hinweg bewährt. Grundschullehrer bevorzugen das Streifen-Modell, weil die Schulbücher es verwenden. Förderschullehrer bevorzugen das Rechteck-Modell, weil man in dem Modell das "zäh- lende Rechnen" effektiver unterbinden kann.

Wer im Zahlraum bis 1000 lieber mit dem Rechteck-Modell arbeitet, kann die in Bild 2 angedeuteten Punktebilder benutzen. Vorlagen zum Herstellen der Punktebilder findet man auf der DVD Lernmittel Mathe- matik. - Wir beschränken uns in den folgenden Ausführungen auf das Streifen-Modell.

Zum Selberanfertigen der Streifen ist Pappe ungeeignet, denn die län- geren Streifen würden leicht brechen. Man müsste die Vorlagen auf bruchfesten Kunststoff kleben, etwa Streifen aus 1 mm starkem Poly- styrol, ein Material, das man mit dem Klingenmesser schneiden und brechen kann. - Angesichts der zu erwartenden Schwierigkeiten beim Selberanfertigen der Streifen empfehlen wir die Verwendung der im Lehrmittelhandel erhältlichen Rechenrahmen.

Betzold Lehrmittel vertreibt einen Rechenrahmen für den Zahlraum bis 20 und einen Rahmen für den Zahlraum bis 100. Man kann die Geräte an die Wandtafel hängen oder als Tischgerät verwenden. - Passend zu beiden Demonstrationsgeräten bietet der Verlag je einen Rechenrahmen für die Einzelarbeit an. Die Kugeln sind rot bzw. blau. Alle Rechen- rahmen sind so breit, dass sich der Bereich zum Aufziehen und der Bereich zum Ablegen der Kugeln nicht überlappen. - Bis vor wenigen Jahren bot Betzold einen Rechenrahmen für den Zahlraum bis 1000 an. Auf jeder Stange befanden sich 100 Scheiben, im Wechsel 10 weiße und 10 rote. Das Gerät ist von den Schulen nicht angenommen worden. Bild 1 zeigt Betzolds Rechenrahmen für den Zahlraum bis 20, Bild 3 zeigt Betzolds Rechenrahmen für den Zahlraum bis 100.

Die Darstellung am Rechenrahmen ist eindeutig. Bild 4 zeigt die 68. Die Eindeutigkeit der Darstellung sollte beibehalten werden, denn der Wechsel der Darstellungsform würde das Erkennen des Zahlwerts er- schweren. Allerdings sind bei Rechenhandlungen Verstöße gegen die Eindeutigkeit nicht zu vermeiden. In diesen Fällen muss die Darstellung sofort in die Standardform überführt werden (Bild 5).

Mit dem Rechenrahmen lassen sich fast alle Rechenoperationen im Zahlraum bis 20 bzw. bis 100 durch Handlungen lösen. Wir beginnen im ersten Schuljahr mit dem Zehnerübergang plus und minus, dem Verdoppeln und Halbieren. Im zweiten Schuljahr setzen wir mit den meist mehrschrittigen Rechnungen fort. Alle Operationen werden erst an der Tafel ausgeführt und anschließend in der Kleingruppe mit dem Re- chenrahmen für Schüler gefestigt. Rechenschwache Schüler brauchen zusätzlich die Einzelarbeit mit dem Rahmen.

Bild 5 zeigt das Lösen einer Aufgabe am Rechenrahmen an der Tafel. Tafelanschrieb: 47 + 28. Die 47 wird aufgezogen. Danach wird unter der 47 die 20 aufgezogen. Die Darstellung wird in die Standardform überführt: 67. Danach werden 3 und 5 aufgezogen. Der Tafelanschrieb wird ergänzt: 47 + 28 = 75. - Weil man die Aufgabe durch Handeln gelöst hat, entfällt das aufwändige Schreiben der Zwischenschritte: 47 + 20 = 67 und 67 + 8 = 75. - Wenn die Schüler später ohne Rahmen rechnen, können sie sich in einer Übergangsphase die Rechenhandlung räumlich vorstellen.






Bild 1:
Zahl 17 als Streifen
Bild 2:
Zahl 17 im Rechteck
Bild 3:
Rechenrahmen bis 100
Bild 4: Zahldarstellung: Standard
68 am Rechenrahmen bis 100
Bild 5: mehrschrittige Rechnung
37 plus 28