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Zufallsexperiment: Grundbegriffe

Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment mit mehreren möglichen Ergebnissen, und es ist nicht vorhersehbar, welches Ergebnis eintreten wird. Das Zufallsexperiment muss unter gleichen Bedingungen wiederholbar sein. Ein Zufallsexperiment, in dem jedes Ergebnis die gleiche Chance hat einzutreten, heißt zu Ehren des französischen Mathematikers Laplace (1749-1827) Laplace-Experi- ment. - Beispiele:

Der Wurf eines Augenwürfels im Würfelbecher ist ein Laplace-Experiment. Die Ergebnisse sind die Augenzah- len 1 bis 6. Wird der Würfel im Becher gut geschüttelt, hat jede Augenzahl die gleiche Chance.

Dagegen ist der Wurf einer Reißzwecke im Würfelbecher kein Laplace-Experiment. Die Ergebnisse sind "Rückenla- ge" oder "Seitenlage". Wird der Becher gut geschüttelt, hat die Seitenlage eine größere Chance einzutreten als die Rückenlage.

Wird ein Zufallsexperiment zweimal durchgeführt, so spricht man von einem zweistufigen, bei dreimaliger Durchführung von einem dreistufigen Zufallsexperiment usw. Ein mehrstufiges Zufallsexperiment wird wie ein einstufiges dargestellt. Die Ergebnismenge wird von Stufe zu Stufe umfangreicher. - Beispiel:

Beim einmaligen Wurf einer Münze sind zwei Ergebnisse möglich: Wappen (W) und Zahl (Z). - Wirft man die Münze zweimal, gibt es vier Ergebnisse: WW, WZ, ZW, ZZ. - Beim dreimaligen Wurf sind acht Ergebnisse möglich: WWW, WWZ, WZW, WZZ, ZWW, ZWZ, ZZW, ZZZ. Das Beispiel zeigt, dass die Ermittlung der möglichen Ergeb- nisse eine kombinatoriche Aufgabe des Anordnens ist.

Beim Zufallsexperiment interessieren meist gewisse Teilmengen von Ergebnissen. - Beispiel: Wann erhält man beim Wurf mit zwei unterschiedlichen Augenwürfeln die Summe 8, wann die Summe 7? Die Ergebnisse 2;6 3;5 4;4 5;3, 6;2 ergeben die Summe 8, die Ergebnisse 1;6 2;5, 3;4 4;3 5;2 6;1 die Summe 7. - Eine Teilmenge von Ergebnissen bezeichnet man als Ereignis. Das Beispiel zeigt, dass die Darstellung des Ereignisses eine kombina- torische Aufgabe des Auswählens ist. Eine Teilmenge mit einem Ergebnis heißt Elementarereignis. Elementarer- eignis und Ergebnis bezeichnen demnach das Gleiche.





Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist ein Maß für die Gewissheit des Eintretens des Ereignisses. Sie wird durch eine Zahl zwischen 0 und 1 beschrieben. - Beispiel: Wir rechnen damit, dass ein Ereignis mit der Wahr- scheinlichkeit 1/10 nicht eintreten, jedoch ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 9/10 eintreten wird.

Man ermittelt die Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit des Ereignisses im mehrstufigen Zufallsexperiment. Der Wert wird um so genauer, je größer die Anzahl der Stufen ist. - Beispiel: Wirft man eine Reißzwecke 100-mal, so erhält man in etwa 40 Fällen die Rückenlage und in etwa 60 Fällen die Seitenlage. Demnach ist die relative Häufig- keit für die Rückenlage etwa 2/5 und für die Seitenlage etwa 3/5. Die Wahrscheinlichkeiten hängen auch von der Herstellung der Reißzwecke ab: Falls das Rückenteil - weil mit Plastik überzogen - schwerer ist, nimmt die Wahr- scheinlichkeit für die Rückenlage zu.

Beim Laplace-Experiment kann man auf das Ermitteln der relativen Häufigkeit verzichten. Da die Ergebnisse gleich- berechtigt sind, lässt sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als Verhältnis der für das Ereignis günstigen Ergebnisse zu den möglichen Ergebnissen bestimmen. - Beispiel: Beim Wurf mit zwei unterschiedlichen Augen- würfeln sind 36 Ergebnisse möglich. Die Summe 8 hat die Wahrscheinlichkeit 5/36, die Summe 7 die Wahrschein- lichkeit 6/36. - Die Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit kann man durch die Berechnung der relativen Häufig- keiten prüfen. Auf diese Weise lässt sich beispielsweise ermitteln, ob der Schwerpunkt eines Spielwürfels tat- sächlich der Mittelpunkt des Würfels ist oder ob eventuell eine Abweichung vorliegt. - Die Dominanz der Laplace-Experimente verstellt den Blick auf den Umstand, dass Zufallsexperimente im allgemeinen keine Laplace-Ex. sind

In den Lehrplänen findet man ferner die Bezeichnung Chance. Die Chance bedeutet das Gleiche wie die Wahr- scheinlichkeit. Man sagt, ein Ereignis A habe eine größere Chance als ein Ereignis B, wenn die Wahrscheinlichkeit für A größer als für B ist. Die Chance kann im Laplace-Experiment durch Vergleich der für beide Ereignisse gün- stigen Fälle ermittelt werden. - Beispiel: Beim Wurf mit zwei Augenwürfeln ist die Chance für die Summe 7 größer als für die Summe 8, denn sechs Ergebnisse füh- ren zur Summe 7 und nur fünf Ergebnisse zur Summe 8.